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By Hans-Jürgen Schneider

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Synopsis of elementary results in pure and applied mathematics

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Lectures on the Cohomology of Groups

Downloaded from http://www. math. cornell. edu/~kbrown/papers/cohomology_hangzhou. pdf
Cohomology of teams and algebraic K-theory, 131–166, Adv. Lect. Math. (ALM), 12, Int. Press, Somerville, MA, 2010, model 18 Jun 2008

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Example text

Ist f = ni=0 ri xi , g = m j=0 sj x mit ri , sj ∈ R für alle i, j und rn , sm = 0. Der höchste Term von f g ist dann rn sm xn+m mit rn sm = 0, da R Integritätsring ist. 2. Es seien a1 , . . , at ∈ R paarweise verschiedene Nullstellen von f . 14 ein g1 ∈ R[x] mit f = (x − a1 )g1 . Wegen 0 = f (a2 ) = (a2 − a1 )g1 (a2 ) und a2 − a1 = 0 muß, da R Integritätsring ist, g1 (a2 ) = 0 sein. Also gibt es wieder g2 ∈ R[x] mit g1 = (x−a2 )g2 , also insgesamt f = (x − a1 )(x − a2 )g2 . Durch Iteration folgt: es gibt ein gt ∈ R[x] mit f = (x − a1 ) .

Beweis. Nach Definition muß ϕ(1) = 1R sein. Da ein Ringhomomorphismus auch ein Homomorphismus der additiven Gruppen ist, ist damit ϕ nach 1. schon eindeutig festgelegt. Daß der in 1. konstruierte Gruppenhomomorphismus mit ϕ(1) = 1R auch tatsächlich ein Ringhomomorphismus ist, rechnet man sofort nach. 3. Ist G eine Gruppe, x ∈ G und ϕ : Z → G der Gruppenhomomorphismus mit ϕ(1) = x, so ist das Bild von ϕ die von x erzeugte Untergruppe x . Ist G abelsch und additiv geschrieben, so ist x = Zx := {±nx | n ∈ N}.

Sind In+1 und I1 ∩ · · · ∩ In = I1 · . . · In relativ prim. 18 Ergibt diese Formulierung irgendeinen Sinn? Hoffentlich. 17 Satz (Chinesischer Restsatz). Ist R ein kommutativer Ring und I1 , . . , In R paarweise relativ prim, so ist die Abbildung ∼ = R/I1 · . . · In − → R/I1 × . . × R/In x → (x, . . , x) ein Isomorphismus von Ringen. Beweis. 8; wir formulieren ihn daher etwas knapper. Die Abbildung R → R/I1 × . . × R/In , x → (x, . . , x), ist offenbar ein Ringhomomorphismus mit dem Kern I1 ∩ · · · ∩ In = I1 · .

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