Download Analytische Geometrie spezieller Flächen und Raumkurven by Oberstudiendirektor i. R. Dr. Kuno Fladt, PDF

By Oberstudiendirektor i. R. Dr. Kuno Fladt, Oberstudiendirektor Arnold Baur (auth.)

Die Freude an der Gestalt ist es, welche den Geometer macht. Alfred Clebsch in "Zum Gedächtnis an Julius Plücker". Dieses Buch ist in jeder Beziehung ein Wagnis, aus drei Hauptgründen: 1. wächst beim Übergang von zwei zu drei Dimensionen, von den ebenen Kurven zu den Flächen und zu den Raumkurven, die Zahl der zu behandelnden Gebilde sofort ins Uferlose; 2. übersteigen die mathematischen Mittel der Stoffbehandlung viel früher und in viel größerem Umfange den elementaren mathematischen Ausbildungsgrad 1): three. setzt der zu behandelnde Stoff, auch wenn er "elementar" ist, doch sehr viel an "allge­ meinen" geometrischen Kenntnissen voraus, die (im Gegensatz zum Kurvenbuch 2)) dem Leser nicht gegenwärtig sind und auch gar nicht gegenwärtig sein können. Der Schwierigkeiten 2. und three. suchten wir auf folgende Weise wenigstens einigermaßen Herr zu werden: Mit der letzten, 3., so, daß wir drei Kapitel "Aus der Koordinaten-, der alge­ braischen und der Differentialgeometrie" vorausschickten, in denen wir auf möglichst elementare Weise den Stoff darzulegen versuchten, der die mathematischen Kenntnisse des Gymnasiums überschreitet bzw. der in den Anfangervorlesungen zwar behandelt wird, dort aber nicht zusammenhängend, wie es fur uns wichtig ist, sondern an vielen Stellen zerstreut, weil mit vielem anderen Stoff vermengt.

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B. x - const D X1' so ist durch diese Gleichung eine Parallelebene zur yz-Ebene bestimmt und in ihr die Kurve z - f(X1'Y) oder F(X1'Y'z) - 0 zu zeichnen. Macht man dies für hinreichend rasch aufeinanderfolgende Werte x1 von x, so erhält man aufeinanderfolgende Schnitte, deren Zusammenhang dann meist am einfachsten ein einziger Schnitt y - const oder z - const, oft einfach y - 0 oder z - 0 liefert (Bild 3, 7 und 8). Beispiel z - x 2 + y2. Die Schnitte z = const • z1 sind Kreise mit den Radien so daß z1 ~ 0 sein muß.

Setzt man die Ausdrücke für die Pi bzw. 'if i ein, so ist A1 (X - X1) + A2 (Y - Y1) + A3 (Z - z1) + A4 (z1 Y - Y1 z ) + 0 + A5(X1z - z1x) + A6(Y1x - x 1Y) (4a) E die Gleichung der Komplexebene durch den Punkt ~ 1Y11z1' A4 (u - u1 ) + A5 (V - v1 ) + A6 (w - w1 ) + A1 (w1v - v 1w) + + A2 (u1w - w1u) + A3 (v1u - u1v) - 0 (4b) die des Komplexpunkts in der Ebene u11v11w1' Jene Ebene hat die Koordinaten (5a) Dieser Punkt die Koordinaten A4u 1 +A 5v1 +A 6';1 (5b) Ist der Ausdruck (6) (AA) ~ A1A4+AzA5+A3A6~O, so sin~wenn man die Querstriche wegläßt, die Gleichungen (5b) einfach die Auflösung der Gleichungen (5a) nach x1 ' Y1' z1 und umgekehrt.

H. es gilt der S 2. Alle zu den Geraden einer Ebene konjugierten Polaren gehen durch den Pol der Ebene. Ist h eine Gerade, die g und g in P und 15 trifft, so ist P Pol der Ebene (h,g) und 15 der von (h,g). h. man hat S 3. Jede Gerade, die zwei konjugierte Polaren schneidet, ist ein Komplexstrahl. ~. 54 2. Abschnitt. Aus der algebraischen Geometrie Ist P ein PUnkt des Komplexstrahls h, so geht seine Polarebene durch P und h. h. es gilt S 4. Jeder Komplexstrahl fällt mit seine~ konjugierten Polaren zusammen.

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