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By Prof. Dr. Georg Pólya, Prof. Dr. Gabor Szegö (auth.)

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Beschränkt bleibt und 2. IF(z) I~ M für sämtliche reellen Werte von z. Dann gilt für sämtliche reellen Werte von z auch IF' (z) I~ I? z ist, wobei A, B Konstanten bedeuten. ] Vermischte Aufgaben. 202. ) 203. Die ganze Funktion G(z) unterliege denselben Bedingungen wie die Funktion F (z) in 201, außerdem sei G(z) ungerade, G(- z) = - G (z). Dann ist für reelles z Das Gleichheitszeichen kann nur für G (z) = cM sin ez, Ic I = 1, und für z = 0 gelten. ] 204. ) Man leite 201 aus 203 ab. 205.

J 1 -, 159. ) Es ist (Verschärfung von 157) 160. Die Abschätzung von 146 kann man für Funktionen -j(z) =z+a 2 z2 +as zS + '" + a"z" + ... , die im Einheitskreis Iz I < 1 schlicht und dem Betrage nach kleiner als M bleiben, folgendermaßen verschärfen: Es ist M ~ 1 (= nur für j(z) = z) und la2 1;;;:;;2(1- ~). Wann tritt das Gleichheitszeichen ein? j(z) ] [1 +ei"M 1/(Z)J2 an. 1) Diese Schranke ist kleiner als ~ n 2• 4 [Man wende 146 auf IV. • Kap. 2: § 6. Nr. t55-t63 - Kap. 3: § t. Nr. t64-t65. 29 181.

IX, reell, R 2 ~ Iw I < + 00 aufge- IV. 2: § 6, Nr. f46-f54. 150. ) Im Einheitskreis gleichung 1 1 - 21z I' Izi < 1 gilt 27 die Un- f"(z) -I . fez) -z ~2, = gilt nur, wenn das Bildgebiet die geradlinig aufgeschlitzte Ebene ist. ] 151. ) Die Funktion 1(z) = z + a2 Z2 + a3 Z3 + ... sei regulär und schlicht im Einheitskreis 1z 1< 1; es sei ferner reine positive Zahl, r < 1. Dann gelten in der Kreisscheibe Iz I~ r die Ungleichungen 1-r , 1+r + r)8 ~ 11 (z) 1~ (1 _ (1 r)3 . Das Gleichheitszeichen kann nur bei den Abbildungen 1(z) = (1 z + eie< Z)2' x reell, eintreten.

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