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By Lothar Heffter

Unter "Begrundung der Funktionentheorie" verstehen wir die auf moglichst elementarem Weg gewonnene Darstellung einer Funktion f (z) == u (x, y) + iv(x, y) von z == x + yi durch gewohnliche Potenzreihen, wenn iiber f(z) gewisse moglichst elementare Voraussetzungen gemacht werden. Diese konnen sehr verschiedener artwork sein. Wahrend aber wohl aIle Lehrbiicher der Funktionentheorie nur einen der beiden "klassi schen" Wege verfolgen, bei denen die Existenz der Ableitung f'(z) (GOURSAT) oder deren Existenz und Stetigkeit (CAUCHY) den Ausgangs punkt bildet, werden hier auBer jenen beiden noch vier andere Wege bis zu dem genannten Endziel gebahnt. Einer von ihnen (MORERA 1901, 26) wird hauptsachlich nur aus historischem Interesse durchgefuhrt. Die drei anderen ruhren in der vorliegenden Gestalt vom Verfasser her und gehen von geringeren Voraussetzungen aus als GOURSAT, d. h. der Existenz von f' (z). Nur einer von ihnen conflict schon in der Schrift "Kurven integrale und Begrundung der Funktionentheorie," Springer-Verlag 1948, enthalten. Damit warfare von mir ein Wunsch erfullt worden, in dem sich BOLZA, wie er mir erzahlte, 1912 in London mit HILBERT begegnet struggle. Wichtige Teile der Funktionentheorie beginnen erst nach der Be griindung, wenn guy additionally schon im Besitz der Potenzreihen fur f(z) ist. Auf diese Teile gehen wir nicht mehr ein, da wir ja nicht ein "Lehrbuch der Funktionentheorie," sondern gewissermaBen nur den A nfang eines sol chen auf sehr verschiedenen Wegen liefern wollen. Abschnitt A bringt Vorkenntnisse, die unmittelbar oder mittelbar wirklich benutzt werden, und zwar mit Beweisen der angefuhrten Satze.

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Eine Reihe + c1(z - Co a) + c 2(z - 00 a)2+ ... ==}; cn(z - a)n==$(z - a), n~O (1) § 14. Potenzreihen und ihr Konvergenzkreis 27 in der z, a und die Cn komplexe Zahlen sein durfen, heiBt eine (gewohnliehe) "Potenzreihe". Da man dureh eine Koordinatentransformation a naeh 0 verlegen kann, genugt die Betrachtung von Reihen 00 }; cnzn == co+ c1 Z n =0 + C2 Z 2 + ... == sP (z) . (2) Fur welche Werte von z konvergiert die Reihe (2), und zwar absolut 1 Zunaehst: Es gibt Reihen sP (z), die nur filr z = 0 konvergieren, z.

Damit ist 1) Bei fast jedem Integralsatz von diesem Typus fiihrt die hier benutzte Me· thode, eine mehrfache Summe zwischen die beiden Integrale zu stellen, deren Gleichheit bewiesen werden solI, zum Ziel, was man z. B. fur einen achsenparallelen Quader leicht durchfiihren kann. 49 § 29. Der Hauptintegralsatz dieses Weges der Hauptsatz bewiesen. Sein Beweis muB wohl noch einfacher genannt werden als der des Goursatschen 1ntegralsatzes in § 19. Wiihlt man speziell f(z) = 1, also u = 1, v = 0, wobei aIle Voraussetzungen des Hauptsatzes erfiiIlt sind, so liefert dieser die Gleichung :P h (z) dz = R °, (14) d.

In den reellen und imaginaren Teil zerlegt, lautet die behauptete Gleichung (3) WO :fi t(z) h(z) dz-:fi [(ucp - vtp) dx - (utp+ vcp) dy] R + i:fi R R [(utp+ vcp) dx+ (ucp - vtp) dy] = (5) O. Wir fiihren den Beweis, daB zunachst das erste der beiden Integrale rechts = 0 ist, mit der schon in § 18 benutzten Doppelsummenmethode. Wir teilen die Seiten (a, b) und (IX, (3) von R in n gleiche Teile durch die Teilpunkte Xl' X2' ... , Xn - l bzw. Yl> Y2' ... , Yn-l und zerlegen R durch Parallele zu den Achsen durch diese Teilpunkte in n 2 kleinere Rechtecke R/1 v=== [(xw Yv) (x/J H ' Yv+l)]' Raben dann U/1'It+l usw.

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