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By Dietrich Marsal

Das vorliegende Werk ist ein Lehr- und Arbeitsbuch für den Selbstunterricht, für die Rechenpraxis und für Übungen. Es richtet sich an jeden Interessierten, magazine er Physiker oder Ingenieur, Analytiker oder Numeriker, Chemiker oder Geowissenschaftler sein, magazine er große oder geringe Vorkenntnisse besitzen. Im Teil über finite Differenzen soll der Leser von einfachsten Aufgaben bis hin zu komplexen Problemen und Techniken (numerische Dispersion, upstream-weighting, Vorkonditionierung von Gleichungssystemen usw.) geführt werden, und zwar von der analytischen Fassung der Aufgabe bis zum fertigen, knappen, für dieses Buch entwickelten Programm (in Fortran seventy seven geschrieben). Der Teil über finite Elemente setzt keine Strukturmechanik voraus. Er spricht Leser an, die finite Elemente als substitute zu finiten Differenzen betrachten und nur Kenntnisse aus der Differential- und Integralrechnung mehrerer Variablen mitbringen. Deshalb wird die Finite-Element-Methode in einfacher Weise aus dem Grundgedanken des Ritzschen Prinzips entwickelt, und zwar von der Differentialgleichung über die zugehörige Variationsaufgabe zum algebraischen Gesamtgleichungssystem.

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Daraus aIle U i . 2 usw. h. 3 . . 12) ben kann, hei~t explizites Differenzenschema. Interpretieren wir t als physikalische Zeit. von den "Zeitschichten" oder sprechen. "Zeitebenen" Betrachten wir Gleichung sichtspunkt. 11) unter diesem Ge- wir die Ableitung u xx auf der Zeitebene n diskretisiert haben. auf der aIle U-Werte schon bekannt sind. UberfUhrt. 4 • . . da~ Wir haben also (uxx)n in ein Differenzenschema Mit gleicher Berechtigung konnen wir auch die Ab- 18 n+l---f----t@-7H----+--n-HlH@--HlE@+-----H@H-i+l i-I ® ® n+l @ EO n i-I i+l Abb.

Die Verteilung des Transportierten erfahrt dadurch ei- 34 ne Aufweitung allein als Folge der Diskretisierung (Querdispersion). Aber auch bei achsenparalleler Stromung tritt eine rein numerisch bedingte Aufweitung der Verteilung des Transportierten ein: Das Transportierte wandere wahrend der betrachteten Zeitspanne zu einem Punkt zwischen zwei Gitterpunkten in Achsenrichtung, wird vom Modell jedoch auf beide verteilt (Langs- dispersion). Reine Langsdispersion la~t sich gut an Gleichungen des Typs c t + uC x = 0 studieren, die konvektiven Transport und andere Phanomene beschreiben (bei Konvektion ist c die Konzentration eines Stoffes, der sich in einem mit der Geschwindigkeit u stromenden Medium befindet).

Man sollte also bei Auftreten von numerischer Dispersion in Gleichungen, sontyp gehoren, dIe nicht zum Laplace- oder Pois- aIle Gesichtspunkte gegeneinander abwagen und 38 gegebenenfalls versuchen, den optimalen p-Wert durch systematisches Probieren finden. y+h), ua u7 = u(x-h,y-h). Us = u(x-h,y+h), u(x+h,y-j). Wir wollen die Summen berechnen und den Ansatz versuchen. Fehlen bei Ableitungen die Argumente, der Gitterpunkt die Taylorentwicklung (vgl. f{z-h) - so ist stets (i,j) gemeint. 12) = h 2 f"(z) + (1/12)h 4 f(4)(z) + O(h 6 ) 39 mit Z=X oder z=y.

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